Обозначим сторону ромба через a, а высоту пирамиды - через h.

Площадь ромба равна 12 см^2, поэтому каждая диагональ ромба равна (2\sqrt{\frac{12}{\sin\alpha}} = 2\sqrt{\frac{12}{\frac{a}{2h}}} = 4h), где (\alpha) - угол между сторонами ромба, который равен 90 градусов.

Таким образом, сторона ромба равна двум диагоналям (\frac{4h}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}h).

Объем пирамиды можно найти по формуле (V = \frac{1}{3}S{\text{осн}}h), где (S{\text{осн}} = a^2) - площадь ромба.

Подставляем известные значения:
(40 = \frac{1}{3} \cdot (2\sqrt{2}h)^2 \cdot h)

решая этот квадратный корень, мы получаем:
(40 = \frac{1}{3} \cdot h^3 \cdot 8)
(40 = \frac{8}{3} \cdot h^3)
(120 = 8 \cdot h^3)
(15 = h^3)

Отсюда можно найти высоту пирамиды:
(h = \sqrt[3]{15} \approx 2.466) см

Таким образом, высота пирамиды равна примерно 2.466 см.