Для доказательства этого факта рассмотрим произвольный треугольник ABC и его медианы AD, BE и CF, где D, E и F - середины сторон BC, AC и AB соответственно.

Для начала докажем, что точка пересечения медиан существует. Рассмотрим треугольник ABC и соединим точки A и D. Так как D - середина стороны BC, то отрезок AD равен по длине половине стороны BC. Аналогично, соединим точки B и E, и точки C и F. Таким образом, мы получим три попарно параллельных отрезка (AD // CF, BE // CF, AD // BE), которые пересекаются в одной точке, так как они являются медианами треугольника.

Далее докажем, что найденная точка делит каждую медиану в соотношении 2:1. Рассмотрим, например, медиану CF. Точка пересечения медиан CF и AD обозначена как M. Треугольники AMC и CMB подобны (по двум углам), поэтому CM/MB = CA/AB = 1/2. Аналогично можно доказать, что точка пересечения делит медианы AD и BE в соотношении 2:1.

Таким образом, точка пересечения медиан треугольника существует и делит каждую из них в соотношении 2:1.