Для начала заметим, что по построению у нас треугольник ОАВ является прямоугольным, так как луч ОВ перпендикулярен лучу ОА.

Также мы знаем, что лучи OL и OM являются биссектрисами углов ВОА и ВОС. Таким образом, у нас получаются следующие равенства углов:

1) ∠AOL = ∠AOM (определение биссектрисы)
2) ∠MOV = ∠LOV (определение биссектрисы)

Теперь посмотрим на треугольник ОСВ. У него угол В равен сумме углов ВОС и ВОЛ, так как угол В является внешним углом треугольника. Таким образом, у нас получается равенство:

∠B = ∠VOS + ∠VOL

Из равенств 1) и 2) мы можем заметить, что ∠VOL = 2∠AOL и ∠VOS = 2∠AOM. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:

∠B = 2∠AOM + 2∠AOL
∠B = 2(∠AOM + ∠AOL)

Таким образом, мы видим, что угол B равен углу, образованному лучами LO и MO. То есть ∠B = ∠LOM.

Но у нас также есть равенство ∠B = ∠AOB, так как треугольник ОАВ прямоугольный. Из этих двух равенств следует, что ∠LOM = ∠AOB.

Заметим теперь, что угол AOS также равен сумме углов BOA и BOS, так как угол AOS является внешним углом треугольника. Таким образом, у нас получается равенство:

∠AOS = ∠BOA + ∠BOS

Используя равенство ∠LOM = ∠AOB, можем переписать это равенство:

∠AOS = ∠LOM + ∠BOS

Далее, угол BOS равен половине угла B, так как OL и OM являются биссектрисами угла BOS. Таким образом, ∠BOS = 0.5∠B.

Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:

∠AOS = ∠LOM + 0.5∠B

Но мы знаем, что ∠B = 2∠AOM + 2∠AOL. Подставляем это в предыдущее равенство:

∠AOS = ∠LOM + 0.5(2∠AOM + 2∠AOL)
∠AOS = ∠LOM + ∠AOM + ∠AOL

Таким образом, мы доказали, что ∠AOS = 2∠LOM.