Для доказательства теоремы нам потребуется рассмотреть треугольник ABC.

Проведем высоту CD, которая будет одновременно служить и медианой и биссектрисой угла ABC.

Так как CD - медиана, то AD = DB.

Также, так как CD - биссектриса угла ABC, то угол ACD = угол BCD.

Рассмотрим треугольники ADC и BDC. У них две стороны равны (AD = DB, CD общая), и у них равны углы при вершине D. Следовательно, по признаку равенства треугольники ADC и BDC равны.

Из равенства треугольников следует, что угол ADC = угол BDC.

Угол BDC равен половине угла ABC.

Таким образом, получаем, что угол ABC = 2*угол ADC.

Аналогично доказывается, что угол BAC = 2*угол BDC.

Так как сумма углов треугольника ABC равна 180 градусов, то:

угол ABC + угол BAC + угол ACB = 180 градусов,

2угол ADC + 2угол BDC + угол ACB = 180 градусов,

2*(угол ADC + угол BDC) + угол ACB = 180 градусов,

2*угол ACB + угол ACB = 180 градусов,

3*угол ACB = 180 градусов,

угол ACB = 60 градусов.

Таким образом, угол ACB равен 60 градусов, что доказывает теорему о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.