Для начала найдем длину окружности, по которой будет вращаться прямоугольник. Она равна (2\pi a).

Теперь найдем площадь поверхности тела вращения. Для этого нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.

Площадь боковой поверхности:
( S_{б} = 2\pi a \cdot b)

Площадь первого основания:
При вращении прямоугольника нашей фигуры будет принимать форму эллипсоида. Площадь такого эллипсоида можно найти по формуле:
( S_{1} = \pi ab)

Площадь второго основания:
Так как фигура симметрична, то и площадь второго основания будет такой же:
( S_{2} = \pi ab)

Итого, площадь поверхности тела вращения:
( S = S{б} + S{1} + S_{2} = 2\pi a \cdot b + 2\pi ab = 2\pi ab(a + b))

Теперь действительно необходимо делить результат на (\sqrt{a^{2} + b^{2}}) - получится окончательный результат:
[ \frac{2\pi ab(a + b)}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \frac{4\pi ab(a + b)}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} ]

Ответ: (\frac{4\pi ab(a + b)}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}})