Для начала, обозначим точку пересечения отрезков MN и LP как Q. Поскольку отрезки MN и LP делятся пополам точкой Q, то по определению это означает, что MQ = QN и LQ = QP.

Теперь рассмотрим треугольник MPQ. Так как MQ=QN, то у этого треугольника две равные стороны MQ и NQ. При этом сторона MP совпадает с самой собой. Поскольку две стороны треугольника равны двум сторонам другого треугольника, можно заключить, что треугольники MPQ и MNQ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол MPQ равен углу MNQ.

Так же, рассмотрим треугольник LPQ. Аналогично, можно утверждать, что угол LQP равен углу LQN.

Теперь обратим внимание на треугольник QPN. У него угол между сторонами PN и QN равен углу MPQ (поскольку MPQ равен MNQ). Таким образом, треугольники QPN и MPQ равны по двум углам и общей стороне QN.

Так как треугольники MPQ и QPN равны по двум сторонам и углу между ними, то сторона MP равна стороне PN. Изначально мы знали, что сторона PN равна стороне LP. Следовательно, MP=LP, что и требовалось доказать.