Обозначим сторону квадрата через а.

Так как точка N - середина отрезка AB, то MN параллельна стороне CD квадрата.

Также из условия задачи следует, что расстояние от точки М до вершины квадрата равно 4√5 см, то есть MN = 4√5 см.

Теперь рассмотрим треугольник MBC. Поскольку угол между BC и MN равен 60 градусов, то угол MBC также равен 60 градусов.

Так как MN параллельна стороне CD квадрата, то угол MBC равен углу CDM.

Из прямоугольного треугольника MDC, где MC - гипотенуза и MD равен половине стороны квадрата, найдем DC:
MD² + CD² = MC²
(a/2)² + (a/2)² = MC²
a²/4 + a²/4 = MC²
a²/2 = MC²
MC = a√2

Теперь рассмотрим треугольник MCB:
BC² = MC² + MB²
BC² = (a√2)² + (a/2)²
BC² = 2a² + a²/4
BC² = 8a²/4 + a²/4
BC² = 9a²/4
BC = 3a/2

Так как BC = 3a/2 и равен 4√5 см, то:
3a/2 = 4√5
3a = 8√5
a = 8√5 / 3

Ответ: сторона квадрата равна 8√5 / 3 см.