Пусть радиус основания цилиндра равен R, а высота цилиндра равна H. Тогда длина диагонали осевого сечения цилиндра равна √(R^2 + H^2), а тангенс угла между этой диагональю и образующей цилиндра равен H/R.

Из условия задачи имеем, что длина диагонали равна 48 см, а угол между диагональю и образующей равен 60 градусам. Таким образом, у нас есть два уравнения:

√(R^2 + H^2) = 48,
tg 60 = H/R.

Так как tg 60 = √3, получаем:

H/R = √3.

Теперь можно выразить H через R из второго уравнения:

H = R√3.

Подставляем это выражение в первое уравнение:

√(R^2 + R^2*3) = 48,
√4R^2 = 48,
2R = 48,
R = 24 см.

Теперь находим площадь основания цилиндра по формуле:

S = πR^2 = π*24^2 = 576π.

Ответ: площадь основания цилиндра равна 576π см^2.