Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.
Так как радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 5 см, а площадь треугольника выражается как радиус умноженный на полупериметр, а также как произведение катетов деленное на гипотенузу (r = p) можно выразить площадь треугольника следующим образом:

p = (a + b + c) / 2
S = p r
S = 5 p
S = a * b / 2

Итак, из этих зависимостей, мы можем определить c и затем найти периметр треугольника:

ab = 10 (a + b) или ab/10 = a+b
12 * 5 / 10 = 6
a + b = 6

(1) a + b + c = 24 (a + b + c = P)

(2) a^2 + b^2 = c^2

(3) a + b = 6 => a = 6 - b => b = 6 - a
=>

(5) 6 - a * a + a^2 = c^2
(5) 6a - 6 + a^2 = c^2
(5) с = sqrt(6a - 6 + a^2)

подставляя сюда получаем с = 13

P = ab/10 + 12 + 5 + 13 = 30 + 13 = 43

Ответ: Периметр треугольника равен 43 см.