Используем тригонометрические тождества:

tg^2a + 1 = sec^2a
ctg^2a + 1 = cosec^2a

Подставим эти равенства в исходное тождество:

(1 + tg^2a)cos^2a + sin^2a(1 + ctg^2a) =
= (1 + sec^2a)cos^2a + sin^2a(1 + cosec^2a) =
= cos^2a + cos^2a/sin^2a sin^2a + sin^2a + sin^2a/cos^2a cos^2a =
= cos^2a + cos^2a + sin^2a + sin^2a =
= 2(cos^2a + sin^2a) =
= 2.

Таким образом, тождество доказано.