Пусть высота трапеции равна h.

Так как диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то мы можем разделить трапецию на 4 прямоугольных треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что гипотенузы этих треугольников равны 9 и 12, а катетами являются высота h и основание трапеции.

Применим теорему Пифагора для каждого из треугольников:

h^2 + (a/2)^2 = 9^2
h^2 + (b/2)^2 = 12^2

где a и b - основания трапеции.

Так как диагонали трапеции равны, то a + b = 9 + 12 = 21.

Из этих уравнений можем найти высоту h:

a = 21 - b

h^2 + ((21-b)/2)^2 = 9^2
h^2 + (441 - 42b + b^2)/4 = 81
4h^2 + 441 - 42b + b^2 = 324
4h^2 + b^2 - 42b + 117 = 0

Выразим переменную b из уравнения a + b = 21 и подставим в последнее уравнение:

a = 21 - b
b = 21 - a

4h^2 + (21-a)^2 - 42(21-a) + 117 = 0
4h^2 + 441 - 42a + a^2 - 882 + 42a + 117 = 0
4h^2 + a^2 - 324 = 0

Аналогично выразим переменную a через h:

b = 21 - a
a = 21 - b

4h^2 + (21 - b)^2 - 42(21 - b) + 117 = 0
4h^2 + 441 - 42b + b^2 - 882 + 42b + 117 = 0
4h^2 + b^2 - 324 = 0

Таким образом, мы получаем квадратное уравнение:

4h^2 + b^2 - 324 = 0

Решаем его и находим значение высоты h.