Для доказательства этого факта нам потребуется использовать теорему о трех перпендикулярах.

Предположим, что у нас есть окружность с центром в точке O и касательной к ней, проходящей через точку P. Для начала нарисуем отрезок OP и соединим его с центром окружности O.

Теперь построим отрезки, соединяющие точку O с точками касания окружности и касательной - это отрезки OA и OB. Так как OA и OB являются радиусами окружности, они равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник OPA. Он является прямоугольным, так как стороны OP и OA являются радиусами окружности. Также угол OPA прямой, так как касательная перпендикулярна радиусу окружности в точке касания.

Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что отрезок OP равен отрезку OB, так как оба отрезка - высоты в прямоугольных треугольниках.

Таким образом, мы доказали, что центр окружности О равноудален от любой касательной к окружности в ее точке касания.