Обозначим высоту пирамиды как h. Так как боковое ребро равно а, то у нас получится прямоугольный треугольник, в котором катеты равны a, h, а гипотенуза - наклонное ребро (оно же боковое ребро).

Теперь можем записать:
[ \cos \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow b = \frac{a}{\cos \alpha} ]

Обратим внимание, что в таком прямоугольнике у нас будет еще один прямоугольный треугольник, в котором катетами будут высота h и половина длины стороны основания (так как сторона основания делится перпендикуляром, проведенным к середине стороны). Мы можем записать:
[ \cos \alpha = \frac{a}{2h} \Rightarrow h = \frac{a}{2\cos \alpha} ]

Теперь можем выразить объем пирамиды:
[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a}{2\cos \alpha} = \frac{a^3}{6\cos \alpha} ]

Таким образом, объем пирамиды равен ( \frac{a^3}{6\cos \alpha} ).