Обозначим меньший отрезок, на котором точка касания делит боковую сторону трапеции, через а, а больший — через b.

Так как окружность вписана в трапецию, то ее радиус будет равен 12 см, а касательная к точке касания будет равна радиусу (условие касания окружности к боковой стороне).

Теперь воспользуемся свойством касательных, что отрезок, проведенный из точки касания к точке пересечения диаметра и касательной, делит его на 2 отрезка. Отсюда следует, что внешний отрезок стороны трапеции будет равен сумме отрезков a+b (т.к. r=12):

16 = a + b

Также, в равнобокой трапеции диагонали равны. Обозначим через h высоту трапеции. Рассмотрим треугольник равнобедренный ABC (где A и C — вершины трапеции, а B — точка касания). Тогда

h^2 + a^2 = r^2
h^2 + b^2 = r^2

Отсюда можем сформулировать задачу поиска площади трапеции через известные величины a и b:

h = √(r^2 - a^2) = √(r^2 - b^2)
S = (a+b)/2 h = 16 √(12^2 - 8^2) ≈ 448 см^2

Итак, площадь трапеции равна 448 кв. см.