Пусть ( a ) и ( b ) - катеты прямоугольного треугольника, ( c ) - гипотенуза, а ( h ) - высота, проведенная к гипотенузе. Тогда по условию задачи у нас есть два треугольника, один из которых имеет периметр 6, а другой - 8.

Так как высота проведена к гипотенузе, она делит прямоугольный треугольник на два треугольника - прямоугольный и равнобедренный.
Периметр прямоугольного треугольника равен ( a + b + c ), а периметр равнобедренного равен ( 2a + c ).
Из условия задачи получаем систему уравнений:

[
\left{
\begin{array}{l}
a + b + c = 6,\
2a + c = 8.\
\end{array}
\right.
]

Решая данную систему получаем ( a = 2, b = 1, c = 5 ). Периметр всего треугольника равен ( 2 + 1 + 5 = 8 ).

Ответ: периметр всего треугольника равен 8.