Для начала найдем длину отрезка BK. Из условия задачи известно, что BC = BK, поэтому треугольник BCK является равнобедренным. Так как медиана BK делит сторону AC пополам, то BC = CK = 36 / 2 = 18 см.

Далее, найдем длину отрезка AP. Так как точка P является основанием высоты, то треугольник ABP является прямоугольным. Также, так как BC = CK = 18 см, то BP = 18 см.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABP:

AP^2 + BP^2 = AB^2

Так как BC = CK = 18 см, то AB = 2 * BC = 36 см. Подставим известные значения:

AP^2 + 18^2 = 36^2

AP^2 + 324 = 1296

AP^2 = 972

AP = √972 ≈ 31.16

Итак, длина отрезка AP составляет примерно 31.16 см.