Для решения задачи воспользуемся формулой для площади поверхности пирамиды:

S = Sb + 4 * Sб,

где Sb - площадь основания, Sб - площадь боковой поверхности.

Площадь основания пирамиды равна:

Sb = a^2,

где а - сторона основания.

Найдем боковую сторону пирамиды.

Пусть d - диагональ основания, a - сторона основания, h - высота пирамиды.

Тогда по теореме Пифагора для треугольника со смежными катетами h и r (радиус описанной окружности, к которой можно вписать пирамиду) и гипотенузой d (диагональю основания) :

(2r)^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2

(2r)^2 = 10^2 + (\frac{a}{2})^2

r = \frac{\sqrt{25a^2 - 400}}{4}

Теперь найдем боковую сторону пирамиды:

l = \frac{\sqrt{r^2 + h^2}}{\sin\gamma},

где \gamma - угол между диагональю основания и боковой стороной (60 градусов).

l = \frac{\sqrt{(\frac{\sqrt{25a^2 - 400}}{4})^2 + 100}}{\frac{1}{2}}

Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:

Sб = \frac{1}{2} a l * 4.

Итак, найдем площадь всей поверхности пирамиды:

S = a^2 + 4 * Sб.