Для доказательства данного свойства рассмотрим отрезок, соединяющий точку касания окружности и точку, из которой проведена касательная.

Пусть дана окружность с центром в точке O и радиусом r. Пусть M - точка касания касательной и P - точка, из которой проведена касательная к окружности.

Так как отрезок MP - это касательная, то угол между отрезком MP и радиусом окружности OM равен 90 градусов (так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания).

Таким образом, треугольник OMP прямоугольный. По теореме Пифагора:

|OM|^2 + |MP|^2 = |OP|^2,

где |OM| равно радиусу окружности r, |MP| равно отрезку от точки касания до точки, из которой проведена касательная, и |OP| равно отрезку от точки, из которой проведена касательная до центра окружности.

Следовательно, свойство отрезков касательных проведенных к окружности из одной точки доказано. ∎