Пусть угол BCD равен x градусам.

Так как диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке О, то треугольник AOB и треугольник DOC являются прямоугольными.

Из условия площадей треугольников мы можем составить уравнения:

1/2 AB BO sin(x) = 6 (1)
1/2 BC BO sin(90-x) = 5 (2)
1/2 CD DO * sin(x) = 4 (3)

Из уравнений (1) и (3) мы можем выразить AB и CD через BO и DO:

AB = 12/BO
CD = 8/DO

Подставим это в уравнение (2):

1/2 12/BO BO sin(x) sin(90-x) = 5

6 sin(x) cos(x) = 5

sin(2x) = 5/6

2x = arcsin(5/6)

x = arcsin(5/6) / 2

x ≈ 35.26 градусов

Ответ: угол BCD ≈ 35.26 градусов.