Теорема о средней линии треугольника утверждает, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство:

Пусть у нас есть треугольник ABC с вершинами A, B и C, и пусть D, E и F - середины сторон AB, BC и AC соответственно. Нам нужно доказать, что EF параллельна и равна по длине стороне AB.

Рассмотрим треугольники ADE и EBC. Поскольку D и E - середины сторон AB и BC соответственно, то DE || AC и DE = 1/2 AC. Аналогично, EB || AC и EB = 1/2 AC. Также, по построению, AD = DC (поскольку D - середина AB) и BE = EC (поскольку E - середина BC). Теперь у нас есть две параллельные стороны и равные стороны, что означает, что треугольники ADE и EBC подобны.

Из подобия треугольников ADE и EBC следует, что углы AED и BEC равны друг другу, поскольку они соответственны (они против равных и подобных сторон). Таким образом, EF || BC.

Теперь рассмотрим треугольники AEF и ABC. Поскольку EF || BC (из пункта 2) и A, D, E соответственно соответствуют вершинам A, B, C, то треугольники AEF и ABC подобны. Таким образом, EF || BC и соотношение сторон треугольников AEF и ABC равно соотношению сторон BC и EF, то есть EF = 1/2 AB.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия EF треугольника ABC параллельна стороне AB и равна половине этой стороны.