Пусть длина биссектрисы ВК равна х см.

Так как треугольник АВK равнобедренный, то ВК = КС = х.
Также ВА = АК (так как треугольник равнобедренный).

По условию задачи известно, что периметр треугольника АВК равен 12 см, т.е. АВ + ВК + АК = 12,
и периметр треугольника АВС равен 20 см, т.е. АВ + ВА + АС = 20.

Подставляем ВК = КС = х и ВА в уравнения периметров:
АВ + х + х = 12,
АВ + АК + АС = 20.

Так как ВА = АК, то ВА = АК = (12 - х) / 2.

Подставляем этот результат во второе уравнение:
АВ + (12 - х) / 2 + АС = 20.

Так как АВ = 2х, то
2х + (12 - х) / 2 + АС = 20,
4х + 12 - x + 2АС = 40,
3х + 12 + 2АС = 40,
3х + 2АС = 28.

Также известно, что АВ + ВК + ВА = 12:
2х + х + (12 - x) / 2 = 12,
5х + 12 - x = 24,
4х = 12,
x = 3.

Ответ: длина биссектрисы ВК равна 3 см.