Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины угла P к основанию MK, является медианой, биссектрисой и высотой данного треугольника.

Таким образом, угол P равен 90 градусов, а треугольник MKP является прямоугольным. Из условия задачи известно, что основание MK равно 8 см, а высота PH равна 8 см.

Так как треугольник MKP прямоугольный, то основание медианы PH также равно 4 см (половина основания MK). Из теоремы о прямоугольном треугольнике мы знаем, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, делит эту гипотенузу на две равные части. Следовательно, MP = KP = 4 см.

Теперь у нас есть равносторонний треугольник MKP, в котором сторона MK равна 8 см, а стороны MP и KP равны 4 см. Найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

По формуле радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника:
r = sqrt[(p - a) * (p - b) / (p - c)],

где p - полупериметр треугольника, a и b - стороны треугольника, c - основание треугольника (основание MK).

p = (8 + 4 + 4) / 2 = 8,
a = 4,
b = 4,
c = 8.

Подставим значения в формулу:
r = sqrt[(8 - 4) * (8 - 4) / (8 - 8)] = sqrt[16 / 0] = неопределенность.

Полученное значение радиуса является неопределенностью из-за деления на ноль, так как основание треугольника (основание MK) равно нулю. Это говорит о том, что радиус вписанной окружности не существует, так как треугольник не может быть обычным равнобедренным треугольником, если его основание составляет ноль.

Таким образом, задача по нахождению радиуса окружности, вписанной в данный равнобедренный треугольник с указанными размерами, не имеет решения.