Пусть основание треугольника равно a, а высота, опущенная из вершины на основание, равна h. Так как треугольник равнобедренный, то он разделится высотой на два прямоугольных треугольника, каждый из которых будет являться прямоугольным треугольником с катетами a/2 и h, а катет a. По теореме Пифагора для каждого из этих треугольников можно записать:

(a/2)^2 + h^2 = r^2
r^2 = (a/2)^2 + h^2

где r - радиус вписанной окружности. Так как радиус описанной окружности равен 25, то диаметр описанной окружности равен 50, и это же будет гипотенузой наших двух треугольников. Имеем:

(2r)^2 + h^2 = 50^2
4r^2 + h^2 = 2500

Из двух уравнений можем найти высоту h и радиус вписанной окружности r:

h^2 = (a/2)^2 + h^2
4r^2 + h^2 = 2500
h = a/2
r = 12

Так как центры вписанной и описанной окружностей треугольника лежат на одной прямой с вершиной угла треугольника, расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов, то есть 25 - 12 = 13. Таким образом, расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника равно 13.