Поскольку окружность с центром в точке О касается сторон ВС и ВР, то треугольник ВОР - прямоугольный, так как радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.

По условию известно, что BD = 20 см, а VP = 8 см. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то VO = VR + RO. Из прямоугольного треугольника ВОР можем найти VO: VO^2 = VR^2 + RO^2.

Так как VO равен радиусу окружности, то получаем:
R^2 = VR^2 + RO^2
R^2 = 64 + RO^2

Также, используя теорему Пифагора, найдем VO:
VO^2 = VR^2 + RO^2
VO^2 = 64 + RO^2 + RO^2
VO^2 = 64 + 2RO^2
VO = sqrt(64 + 2RO^2)

Так как VO = R, то R = sqrt(64 + 2*RO^2)

Теперь рассмотрим треугольник ОВС. Из него у нас получается второе уравнение:
sin(∠OVB) = VR / VO = VR / R
sin(∠OVB) = 8 / R

Теперь мы можем выразить sin(∠OVB) через RO и VO, используя теорему Пифагора:
sin(∠OVB) = VR / VO = 8 / sqrt(64 + 2*RO^2)

Таким образом, у нас получаются два уравнения:

R = sqrt(64 + 2*RO^2)sin(∠OVB) = 8 / sqrt(64 + 2*RO^2)

Решая их, найдем RO и R.