Для начала построим треугольник со сторонами 3, 5 и 7. Также построим окружности с радиусами 3 и 5, вписанные в этот треугольник.

Далее проведем прямую l через точку A, пересекающую обе окружности по равным хордам. Очевидно, что эти хорды будут равными относительно радиусов соответственных окружностей.

Давайте обозначим точки пересечения прямой l с окружностью радиуса 3 как X и Y, а с окружностью радиуса 5 как Z и W. Тогда AX = AY и AZ = AW.

Теперь заметим, что треугольники ABX и ACZ подобны, так как у них соответствующие углы равны (по критерию подобия треугольников), а стороны пропорциональны.

Из подобия треугольников следует соотношение:
AB/AC = BX/CZ
3/5 = BX/CZ
BX = 3*CZ/5

Аналогично, из подобия треугольников ABX и AYW следует:
3/5 = AY/AW
AY = 3*AW/5

Таким образом, длина хорды, равной отрезку XY, равна 3*(CZ-AW)/5. При этом CW = CZ + ZW = CZ + AX = CZ + 3 = 3 + 5 = 8.

Из уравнения треугольника ACZ: (AC^2) = (zCZ)^2 + (CZ^2), получим :
5^2 = (zCZ)^2 + (CZ)^2, 25 = 10CZ^2,
CZ = sqrt(25/10), CZ = 5/√10 = (5√10) / 10 = √10 / 2.

Также из равенства тригонометрической формы угла А в треугольнике ACZ, где cos A = √10 / 5, находим △ACZ: 7/sinA = 5/sin(90-A), 7.sin(90-A) = 5.sinA,

√(1 - sin² A) = 5.sinA, 7.√10 / 10 = 5.sinA, sinA = (7√10) / (10.5).

Теперь, подставив полученные значения в формулу для длины хорды XY, получаем:
AB = 3
AC = 5
BC = 7
AX(AY) = 3 - 2√10
AY(AZ) = 3√10 / 2
AZ = √10/2
CW = 8
XY = 3(CZ-AW)/5 = 3 (√10 / 2 - 5√10/10) / 5 = 3 5√10 / 10 / 5 = 5/2 * √10/10 = √10 / 4.

Таким образом, длина хорды, проходящей через точку A и равной отрезку XY, равна √10 / 4.