Пусть радиус вписанной окружности касается стороны AB в точке D. Так как отрезки AE, EB и EC являются касательными к окружности, то по свойству касательных и хорд равенство отрезков:
AD = AE = 4,
CD = EC = 6,
BD = BE.

Так как радиус окружности проведён к касательной, он перпендикулярен ей. Значит, AD и CD являются высотой и основанием равнобедренного треугольника ACD. Найдём длину его основания по теореме Пифагора:
AC² = AD² + CD²,
AC² = 4² + 6²,
AC = √52 = 2√13.

Поделим основание треугольника ACD пополам:
BD = CD - BC,
BD = 6 - x,
2BD = 2CD - 2x,
2BD = AC - 2x,
2∙ BE = 2√13 - 2x,
BE = √13 - x.

Треугольник ABE также является прямоугольным, так как радиус окружности перпендикулярен касательной. Так как AB и AE являются катетами, а BE — гипотенузой, в нём имеем:

AB² = AE² + BE²,
(AB + BE)(AB - BE) = AE²,
2∙√13∙ x =16,
x=8/√13.

Теперь зная AD и BD, найдём площадь треугольника АВС:
S = 0.5∙ AC∙ AD = 0.5∙ 2√13 ∙ 4 = 4√13.