Пусть ABCD - ромб с диагоналями d1 и d2. Так как ABCD - ромб, то его диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Пусть O - точка пересечения диагоналей, так что AO = OC = d1/2 и BO = OD = d2/2. Проведем высоту из вершины A на диагональ d2, обозначим высоту h.

Так как треугольник ABO прямоугольный и его гипотенуза равна AO = d1/2, а катет равен h, то по теореме Пифагора:

AB^2 = h^2 + (d1/2)^2

Так как ABCD - ромб, то AB = d2.

d2^2 = h^2 + (d1/2)^2

Отсюда находим h:

h = sqrt(d2^2 - (d1/2)^2)

Площадь ромба равна произведению половины диагонали d1 на длину высоты h:

S = (1/2)d1h

S = (1/2)d1sqrt(d2^2 - (d1/2)^2)

Так как d1 и d2 - диагонали ромба, то d1*d2 = 2S

Отсюда получаем, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.