1) Для нахождения расстояния от точки А до прямой ВС воспользуемся формулой для площади треугольника S = 0.5 a h, где a - основание треугольника, h - высота треугольника, проведенная к данной стороне.

Пусть h - искомое расстояние от точки А до прямой ВС, а основание - сторона АС треугольника ABC. Тогда S(ABC) = 0.5 AC h. Площадь треугольника ABC также можно вычислить через сумму площадей треугольников AHB и AHC, где H - перпендикулярная проекция точки А на сторону BC треугольника ABC.

S(ABC) = S(AHB) + S(AHC) = 0.5 AB AD + 0.5 AC CD, где AD - проекция стороны AB на сторону BC, CD - проекция стороны AC на сторону BC.

Таким образом, получаем уравнение: 0.5 AC h = 0.5 AB AD + 0.5 AC CD.

Заметим, что треугольник ABH - равнобедренный, поэтому AB = AH, следовательно AD = AB sin(30°) = AB 0.5. Также из подобия треугольников ABC и AHC, AC / BC = BC / AH, откуда BC^2 = AC BC = AC AH.

Продолжим наш расчет: h = AB 0.5 + AC CD / AC = AB 0.5 + CD = BC 0.5 (1 + sin(30°)) = BC 0.5 (1 + 0.5) = BC 0.75.

Таким образом, расстояние от точки А до прямой ВС равно 0.75 * BC.

2) Для нахождения длины проекции наклонной АВ на прямую АС найдем длину проекции данной стороны целым периметром треугольника ABC.

Как мы уже знаем, BC = AC sin(60°), AB = AC sin(30°), AC = BC / sin(60°) = 2 * BC, AB = BC / 2.

Поэтому длина проекции наклонной АВ на прямую АС равна AB = BC / 2.