Пусть D - точка касания вписанной в треугольник ABC окружности со стороной AB. Тогда AD - биссектриса угла BAC.

Так как тангенс внешнего угла при вершине A равен VP = AD / PD
тангенс AEP = BD / AD
Так как тангенс угла суммы двух углов равен (tg(a+b) = (tg(a) + tg(b)) / (1 - tg(a)tg(b))
VP = BP + AEP / (1 - BP AEP)
VP = 4 + BD / AD / (1 - 4 BD / AD)= BD + 4AD / (AD - 4BD)

Так как BD^2 = (AB - AD)(AB), то BD = (p-a)c / b
А так как BP CP = BD АD
то BD = AB * (p-b) / AB + BC = AB - 4

Тогда AB - 4 = AB(p-b) - 4AB / AB + 4
AB^2 = 4AB(BC - 4)
AB = 4(BC - 4) = 4* (4-4) = 16

Ответ: AB = 16.