Для того, чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что его диагонали перпендикулярны.

Диагонали прямоугольника обладают следующим свойством: они равны между собой и делятся пополам друг друга.

Для начала найдем уравнения прямых, содержащих стороны четырехугольника:
AB: y = 0,5x + 1
BC: y = -2x + 8
CD: y = 2x
DA: y = -2x + 1

Теперь найдем уравнения прямых, проходящих через диагонали:
AC: y = 0,5x + 1
BD: y = -0,5x + 2

Подставим координаты вершин четырехугольника в уравнения диагоналей и убедимся, что точки пересечения диагоналей совпадают:
A(0;1) -> y = 0,50 + 1 = 1
B(4;3) -> y = 0,54 + 1 = 3
C(5;1) -> y = 0,55 + 1 = 3,5
D(1;-1) -> y = 0,51 + 1 = 1,5

Таким образом, диагонали пересекаются в точке (2,2), а значит четырехугольник ABCD является прямоугольником.