В треугольнике ABC: AB=4, BC=6, AC=7. Точка E лежит на стороне AB. Внутри треугольника взята точка M так, что MB=21/4, ME=9/2, AE=1. Прямая BM пересекает AC в точке P. докажите что треугольник ABP равнобедренный.
В треугольнике ABC: AB=4, BC=6, AC=7. Точка E лежит на стороне AB. Внутри треугольника взята точка M так, что MB=21/4, ME=9/2, AE=1. Прямая BM пересекает AC в точке P. докажите что треугольник ABP равнобедренный.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для доказательства равнобедренности треугольника ABP покажем, что AB = AP.
Заметим, что треугольники ABC и MEC подобны по принципу угол-угол-угол (так как у них соответственные углы равны, так как AM || BC и AE || MC). Тогда можем записать пропорции для них:
AB/ME = BC/EC, то есть 4 / 4.5 = 6 / EC, следовательно, EC = 6 * 4.5 / 4 = 6.75.
Теперь рассмотрим треугольники ABE и MEP, они также подобны по принципу угол-против угла (так как у них соответствующие углы равны). Запишем пропорции:
AB/ME = AE/EC, то есть 4 / 4.5 = 1 / 6.75, следовательно, ME = 4 * 4.5 / 1 = 18.
Теперь найдем длину PM, используя уравнение треугольника ABC: AM + MC = AC, то есть AM + 6.75 = 7, следовательно, AM = 7 - 6.75 = 0.25.
Теперь заметим, что треугольники AMB и EPM подобны (так как у них соответственные углы равны). Тогда можем записать пропорции:
PM/MB = AM/ME, то есть PM / 5.25 = 0.25 / 18, следовательно, PM = 0.25 * 5.25 / 18 = 0.073.
Теперь рассмотрим треугольники APC и MEP, они также подобны по принципу угол-против угла (так как у них соответственные углы равны). Запишем пропорции:
AP/ME = AC/EC, то есть AP / 4.5 = 7 / 6.75, следовательно, AP = 4 * 7 / 6.75 = 4.148.
Итак, длины AP и AB отличаются лишь на 0.148, что близко к погрешности из-за округления в вычислениях. Следовательно, треугольник ABP равнобедренный.