Обозначим радиус основания конуса как (r). Так как формула для вычисления длины образующей конуса известна и равна 12, то мы можем написать уравнение:

[r^2 + h^2 = l^2]

где (h) - высота конуса, (l) - образующая конуса.

Так как у нас известно, что образующая равна 12, то

[r^2 + h^2 = 12^2]

Также, известно, что угол между образующей и плоскостью основания равен 60 градусов. Из геометрии известно, что угол между образующей и радиус-вектором, проведенным к точке касания плоскости основания и образующей, равен 90 градусов. Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник, в котором известно один катет (радиус основания) и гипотенузу (образующая). Так как у нас угол при гипотенузе равен 60 градусов, то катет (r) содержит угол в 30 градусов.

Из геометрии прямоугольного треугольника следует, что

[\cos 30 = \frac{r}{l}]

[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{12}]

[r = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}]

Итак, радиус основания конуса равен (6\sqrt{3}).