Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов. Пусть (r) - радиус основания конуса. Тогда можно составить прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 12 (высота конуса), один катет равен (r) (радиус основания), а другой катет неизвестен.

Учитывая, что заданный угол между высотой и основанием равен 60 градусам, то катет, противоположный этому углу, равен (r \cdot cos(60^\circ) = r \cdot \frac{1}{2}). Теперь можем записать теорему Пифагора для данного треугольника:

[(r \cdot \frac{1}{2})^2 + r^2 = 12^2]
[r^2(\frac{1}{4} + 1) = 144]
[r^2(\frac{5}{4}) = 144]
[r^2 = \frac{144 \cdot 4}{5}]
[r = \sqrt{\frac{576}{5}}]
[r = \frac{24}{\sqrt{5}}]

Таким образом, радиус основания конуса равен (\frac{24}{\sqrt{5}}).