Пусть количество сторон правильного многоугольника равно n. Тогда сумма внутренних углов такого многоугольника равна 180° * (n - 2) и сумма внешних углов равна 360°.

У нас дано, что сумма четырех внутренних углов и шести внешних углов равна 768. Поэтому можно записать уравнение:

4 180° (n - 2) + 6 * 360° = 768

720°n - 1440° + 2160° = 768
720°n = 768 + 1440
720°n = 2208
n = 2208 / 720
n = 3.07

Так как количество сторон многоугольника должно быть целым числом, то такое решение не подходит.

Попробуем другой способ:

Сумма четырех внутренних углов равна 4 180° = 720°
Сумма шести внешних углов равна 6 360° = 2160°

Из условия задачи известно, что сумма этих углов равна 768°:

720° + 2160° = 768
2880° = 768
2880° / 768 = 3.75

Так как количество сторон многоугольника должно быть целым числом, то полученное нами число 3.75 не подходит.

Попробуем другую стратегию:

Заметим, что сумма внутренних и внешних углов многоугольника составляет 180 + 360 = 540 градусов. Давайте разделим 768 на 540:

768 / 540 = 1 и остаток 228

Таким образом, 768 = 540 * 1 + 228. Это означает, что у нас есть 1 круг (килоградус = 1000 градусов) и угол 228 градусов "лишний" (не укладывается в полукруг).

Известно, что в полукруге сумма внешних углов равна 360°. Значит, этот "лишний" угол должен быть внутренним углом правильного многоугольника.

Угол в 228 градусов соответствует 9 сторонам правильного многоугольника (поделим 360 на 228). Значит, искомый многоугольник имеет 9 сторон.