Для нахождения всех углов треугольника DEF воспользуемся следующими данными:
Угол D = F - 40°
Угол E = B/3

Известно, что сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:
D + E + F = 180°
(F - 40°) + (B/3) + F = 180°
2F - 40° + B/3 = 180°
2F + B/3 = 220°

Также известно, что углы в треугольнике равны:
180° - G = B, где G - прямой угол
B = 90°

Подставляем B = 90° в уравнение 2F + B/3 = 220°:
2F + 90°/3 = 220°
2F + 30° = 220°
2F = 190°
F = 95°

Теперь находим углы D и E:
D = 95° - 40° = 55°
E = 90°/3 = 30°

Итак, углы треугольника DEF: D = 55°, E = 30°, F = 95°

Чтобы найти сторону DE или EF, нам нужны дополнительные данные о треугольнике, такие как длины сторон.

Так как внешний угол при вершине Z треугольника XYZ равен 120°, то внутренний угол равен 60° (180° - 120°). Учитывая, что треугольник XYZ прямоугольный, то другой угол равен 90°.
Теперь обозначим сторону YZ как гипотенузу, а стороны XZ и XY как катеты. Тогда получим:
XY = 7 см
Угол внутри треугольника при вершине Z = 60°
Угол внутри треугольника при вершине Z = 90°

Длина гипотенузы YZ находится по формуле длины гипотенузы в прямоугольном треугольнике:
YZ = sqrt(XY^2 + XZ^2) = sqrt(7^2 + XZ^2)

Так как угол внутри треугольника при вершине Z равен 60°, тогда сторона XZ против него (наведем катет на гипотенузу):
sin(60°) = XZ/YZ
(√3)/2 = XZ/YZ

Теперь можно подставить полученное уравнение в формулу длины гипотенузы:
YZ = sqrt(7^2 + (7(√3)/2)^2)
YZ = sqrt(49 + 493/4)
YZ = sqrt((196 + 147)/4)
YZ = sqrt(343/4)
YZ = 7√3/2

Итак, длина гипотенузы YZ равна 7√3/2 см.

Для доказательства равенства отрезков PA и PB воспользуемся тем, что в равнобедренном треугольнике угол проведенного перпендикуляра к основанию основания равен прямому углу (90°).

Так как треугольник KLM равнобедренный, то KM = ML. Проведем высоту из вершины L на сторону KM, обозначим точку пересечения с отрезком PB как N. Тогда треугольники LPN и LPB равнобедренные (по двум сторонам и общему углу при вершине P), следовательно, угол NLP = углу LPB. Также угол KLM = углу PMN, потому что сумма углов при основании равнобедренного треугольника равна двойному углу при вершине.

Следовательно, углы KLM и PMN равны, а угол LPM равен прямому углу. Получаем, что треугольники KLM и PMN подобны, и мы можем увидеть, что отрезок NA = NL = PM = MB, поэтому отрезки PA и PB равны друг другу.

Таким образом, отрезки PA и PB равны друг другу.