Для того чтобы доказать, что ABCD-квадрат, нужно убедиться, что стороны перпендикулярны друг другу и равны.

Найдем векторы сторон квадрата:
AB = B - A = (5 - 11; 3 - 3; -7 - 5) = (-6; 0; -12)
BC = C - B = (-5 - 5; -5 - 3; -11 + 7) = (-10; -8; -18)
CD = D - C = (1 + 5; -5 + 5; 1 + 11) = (6; 0; 12)
DA = A - D = (11 - 1; 3 + 5; 5 - 1) = (10; 8; 4)

Проверим, что стороны квадрата перпендикулярны друг другу:
AB ∙ BC = (-6; 0; -12) ∙ (-10; -8; -18) = -6 -10 + 0 -8 + -12 -18 = 60 + 0 + 216 = 276
BC ∙ CD = (-10; -8; -18) ∙ (6; 0; 12) = -10 6 + -8 0 + -18 12 = -60 + 0 - 216 = -276
CD ∙ DA = (6; 0; 12) ∙ (10; 8; 4) = 6 10 + 0 8 + 12 4 = 60 + 0 + 48 = 108
DA ∙ AB = (10; 8; 4) ∙ (-6; 0; -12) = 10 -6 + 8 0 + 4 -12 = -60 + 0 - 48 = -108

Так как AB ∙ BC = BC ∙ CD = CD ∙ DA = DA ∙ AB = 0, то стороны квадрата перпендикулярны друг другу.

Проверим, что стороны квадрата равны по длине:
|AB| = √((-6)^2 + 0^2 + (-12)^2) = √(36 + 0 + 144) = √180
|BC| = √((-10)^2 + (-8)^2 + (-18)^2) = √(100 + 64 + 324) = √488
|CD| = √(6^2 + 0^2 + 12^2) = √(36 + 0 + 144) = √180
|DA| = √(10^2 + 8^2 + 4^2) = √(100 + 64 + 16) = √180

Так как |AB| = |BC| = |CD| = |DA|, то стороны квадрата равны по длине.

Таким образом, по условию задачи и расчетам можно сделать вывод, что ABCD-квадрат.