Пусть ( a ) - длина основания треугольника, ( h ) - высота, проведенная к основанию, ( r ) - радиус вписанной окружности, ( d ) - расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами. Тогда по свойству равнобедренного треугольника ( d = \sqrt{r^2 - (\frac{a}{2})^2} ), а также ( r = \frac{S}{p} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 = 300 ), где ( S ) - площадь треугольника, ( p ) - полупериметр.

Таким образом, ( d = \sqrt{300^2 - 20^2} = \sqrt{90000 - 400} = \sqrt{89600} \approx 299.33 ) см.

Ответ: расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами равно примерно 299.33 см.

Пусть ( a ) - длина боковой стороны треугольника, ( h ) - высота, проведенная к основанию, ( d ) - расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами. Тогда по свойству биссектрисы треугольника ( d = \frac{2ah}{a+h} ).

Подставим известные значения: ( d = \frac{2 \cdot 40 \cdot 4\sqrt{91}}{40 + 4\sqrt{91}} = \frac{320\sqrt{91}}{40 + 4\sqrt{91}} = \frac{80\sqrt{91}}{10 + \sqrt{91}} = \frac{80\sqrt{91} \cdot (10 - \sqrt{91})}{(10 + \sqrt{91})(10 - \sqrt{91})} = \frac{800\sqrt{91} - 7280}{19} \approx 24.63 ) см.

Ответ: расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами равно примерно 24.63 см.