Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника: биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит его основание пополам.

Доказательство:

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB и AC, основанием BC и биссектрисой угла между ними BD.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то стороны AB и AC равны между собой: AB = AC. Также у це треугольника углы при основании равны: угол ABC = угол ACB.

Пусть точка E - точка пересечения биссектрисы с основанием треугольника: BE = EC - по условию.

В треугольнике ABE и ACE у нас равны углы: угол BAE = угол CAE (так как они углы биссектрисы), угол ABE = угол ACE (так как треугольник равнобедренный), и общая сторона AB = AC.

По признаку равенства треугольников (УГУ) треугольники ABE и ACE также равны, значит, у них стороны равны: AE = AE.

Из этого следует, что точка E действительно делит отрезок BC пополам. Теорема доказана.