Для доказательства равенства отрезков BA и BC, рассмотрим треугольники OBA и OBC.
Учитывая, что радиус окружности проведенный касательной перпендикулярен касательной, мы получаем, что угол OBA равен углу OBC (они оба прямые из-за перпендикулярности). Таким образом, треугольники OBA и OBC равнобедренные, соответственно, AB=BC.

Чтобы доказать, что луч BO является биссектрисой угла ABC, рассмотрим также треугольники OBA и OBC. Так как AB=BC и треугольники равнобедренные, то у них равны углы BAO и CBO. Но так как углы AB и BC - варьируемые углы, то получаем, что углы ABC и OBA равны. Так же, углы OBC и OCB равны, но это значит, что углы ABC и OBC равны, т.е. угол ABC делится пополам биссектрисой луча BO.