Пусть основание равнобедренного треугольника равно х см. Тогда по теореме Пифагора для правильного треугольника, проведенного к биссектрисе, мы имеем:
( (\frac{x}{2})^2 + h^2 = 15^2 )
( h = \sqrt{15^2 - (\frac{x}{2})^2} )

Также, по определению биссектрисы, мы имеем:
( h = \sqrt{15^2 - (\frac{x}{2})^2} = 12 )
Решив эту систему уравнений, мы найдем, что ( x = 12\sqrt{3} ). Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно ( 12\sqrt{3} ) см.

Диагональ прямоугольника вычисляется по формуле:
( d = \sqrt{a^2 + b^2} ),
где a и b - стороны прямоугольника. Подставив a=9 см и b=40 см, мы получаем диагональ прямоугольника: ( d = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 ). Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна 41 см.

Высота равностороннего треугольника делит его на два равнобедренных треугольника. Таким образом, высота такого треугольника равна (h = \frac{a\sqrt{3}}{2}), где a - длина стороны. Подставив a=16 см, получаем ( h = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} ). Высота равностороннего треугольника равна 8√3 см.

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению катета, адекватного этому углу, к гипотенузе. Таким образом, косинус угла α равен ( \cos(\alpha) = \frac{a}{c} ), а косинус угла β равен ( \cos(\beta) = \frac{b}{c} ), где a и b - катеты, c - гипотенуза.