Для начала найдем длину оснований трапеции.
Так как угол A равен 60 градусов, то угол B равен 120 градусов (сумма углов на одной основе равна 180 градусам).
Также, так как угол D равен 45 градусов, то угол C равен 135 градусов.

Теперь можем разбить трапецию на два равнобедренных треугольника: △BFC и △CED.

В треугольнике △BFC у нас есть два лучающихся угла: 120 градусов и 90 градусов (поскольку BF - высота, то он перпендикулярен основанию BC). Таким образом, треугольник △BFC - прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:
BC² = BF² + FC²
25 = BF² + FC²

Также мы знаем, что BF + FC = 4 (ведь это длина высоты трапеции).

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для нахождения длины основания FC:
FC² = BF² + 5² - 2 · BF · 5 · cos 120
FC² = BF² + 25 - 10BF(-1/2)
FC² = BF² + 25 + 5BF

Теперь мы можем составить уравнение:
BF² + BF² + 25 = 25
2BF² = 0
BF = 0

Так как в ситуации с трапецией такой высоты быть не может, то наше предположение о равнобедренности было ошибочным и нужно рассматривать треугольники с длинами сторон разной длины.

Давайте теперь рассмотрим треугольник △CED. Здесь у нас также два известных угла: 45 градусов и 90 градусов (так как CE - высота трапеции, то он перпендикулярен основанию DC).
Также мы можем применить теорему Пифагора в треугольнике △CED:
ED² = CD² + CE²
16 = CD² + CE²

Теперь используем теорему синусов в треугольнике △CED для нахождения стороны DC:
DC/sin 45 = 4/sin 90
DC = 4√2

Так как DC = BC, то 4√2 = 5, откуда С=5/√2

Теперь можем найти площадь трапеции:
S = ((BC + CD) CE) / 2
S = ((5 + 4√2) 4) / 2
S = (20 + 16√2) / 2
S = 10 + 8√2

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 10 + 8√2 квадратных сантиметров.