Для нахождения площади треугольника ABCD нам нужно знать длины его сторон. Однако, из предоставленной информации мы можем определить только длины сторон AB и AC.

Исходя из угла А = 45 градусов и стороны AC = 12, мы можем найти сторону BC с помощью тригонометрических функций.

cos(А) = Adjacent side / Hypotenuse
cos(45) = BC / 12
√2 / 2 = BC / 12
BC = 12 * √2 / 2
BC = 6√2

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника ABC (AB = 10, BC = 6√2, AC = 12), мы можем использовать формулу полупериметра и площади Герона:

Полупериметр p = (AB + BC + AC) / 2
p = (10 + 6√2 + 12) / 2
p = (22 + 6√2) / 2
p = 11 + 3√2

Площадь S ABCD = √(p (p - AB) (p - BC) (p - AC))
S ABCD = √((11 + 3√2) (11 + 3√2 - 10) (11 + 3√2 - 6√2) (11 + 3√2 - 12))
S ABCD = √((11 + 3√2) (4 + 3√2) 5 (3√2 - 1))
S ABCD = √(20 (18 - 1))
S ABCD = √(20 * 17)
S ABCD = √340
S ABCD ≈ 18.44

Ответ: S ABCD ≈ 18.44.