Пусть a и b - длины двух противоположных сторон четырехугольника.

Так как сумма двух противоположных сторон равна 15, то a + b = 15.

Также из геометрии известно, что сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 градусов. Из этого следует, что сумма смежных углов в паре равна 180 градусов.

Так как углы при основании треугольника прямые, то треугольник V на основе четырехугольника является прямоугольным.

Таким образом, a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 15^2 = 225.

Также из геометрии известно, что радиус окружности, проведенный касательно к ней, перпендикулярен касательной.

Таким образом, стороны a и b четырехугольника являются диагоналями данного прямоугольного треугольника.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину сторон a и b:

a^2 + b^2 = 225

a^2 + (15 - a)^2 = 225

a^2 + 225 - 30a + a^2 = 225

2a^2 - 30a = 0

a(2a - 30) = 0

a = 0 или a = 15.

Так как стороны a и b являются противолежащими, то одна из сторон должна быть равна 0. Но это противоречит условию задачи, поэтому a = b = 15.

Периметр четырехугольника равен:

15 + 15 + 15 + 15 = 60.

Ответ: периметр четырехугольника равен 60.