Давайте обозначим сторону треугольника как (a). Так как все стороны треугольника касаются сферы, то каждая сторона будет равна радиусу сферы. Таким образом, (a = 4\, \text{дм}).

Теперь мы должны найти расстояние от плоскости треугольника до центра сферы. Данное расстояние является высотой правильного треугольника. По свойствам правильного треугольника, это расстояние можно найти как (\frac{a \sqrt{3}}{2}).

Теперь можно найти всю длину высоты треугольника, добавив к ней 1 дм (расстояние от плоскости треугольника до центра сферы):
[h = \frac{a \sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{4\cdot\sqrt{3}}{2} + 1 = 2\sqrt{3} + 1 \, \text{дм}]

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны треугольника:
[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2]
[4^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 + (2\sqrt{3} + 1)^2]
[16 = 2^2 + 4(3) + 4\sqrt{3} + 1]
[16 = 4 + 12 + 4\sqrt{3} + 1]
[16 = 17 + 4\sqrt{3}]
[4\sqrt{3} = -1]
[\sqrt{3} = -\frac{1}{4}]

Таким образом, мы получили, что длина стороны треугольника равна 4 дм.