Поскольку угол C равен 90∘, то треугольник ABC является прямоугольным.

Из условия известно, что AB = 20.

Также известно, что cos(A) = 3/4.

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то есть AC/AB = AH/20.

Таким образом, cos(A) = AC/AB, откуда AC = cos(A) AB = (3/4) 20 = 15.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения AH:

AH = √(AC^2 + CH^2) = √(15^2 + CH^2)

Так как CH - высота, то в прямоугольном треугольнике ACH применима теорема Пифагора:

AC^2 + CH^2 = AH^2, откуда 15^2 + CH^2 = AH^2, 225 + CH^2 = AH^2.

Также из подобия треугольников ABC и AHC следует, что CH/AC = AH/AB, то есть CH/15 = AH/20, откуда CH = 15AH/20 = 3AH/4.

Подставим это выражение для CH в уравнение 225 + CH^2 = AH^2:

225 + (3AH/4)^2 = AH^2,
225 + 9AH^2/16 = AH^2,
16 * 225 + 9AH^2 = 16AH^2,
3600 + 9AH^2 = 16AH^2,
3600 = 7AH^2,
AH^2 = 3600/7,
AH = √(3600/7),
AH ≈ 17.52.

Итак, AH ≈ 17.52.