Имеем треугольник ABC, в котором угол C равен 90 градусам.

По условию, CH - высота треугольника ABC, AB = 49.

Также, cos(A) = 6/7.

Мы знаем, что cos(A) = AH / AC, где AC - гипотенуза треугольника ABC.

Из свойства тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике, угол A является острым углом, а cos(A) = CA / AC = 6 / 7.

Таким образом, CA = 6k, AC = 7k.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем:

AC^2 = AH^2 + CH^2.

Подставим значения AC и CA из выражения cos(A) = AH / AC = 6 / 7:

(49)^2 = AH^2 + CH^2.

Учитывая, что AC = 7k и CA = 6k, получим следующее:

(7k)^2 = AH^2 + (6k)^2,

49k^2 = AH^2 + 36k^2,

AH^2 = 49k^2 - 36k^2 = 13k^2.

Таким образом, AH = √(13k^2).

По теореме Пифагора также имеем CH = √(AC^2 - AH^2), тогда:

CH = √((7k)^2 - AH^2) = √(49k^2 - 13k^2) = √(36k^2) = 6k.

Мы знаем, что CH = 6k.

Таким образом, имеем уравнение:

AH^2 + (6k)^2 = (49)^2.

13k^2 + 36k^2 = 49^2,

49k^2 = 49^2,

k^2 = 49.

Отсюда получаем k = 7.

Таким образом, AH = √(13 * 49) = √637.

Итак, AH = √637.