Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c = 13.

Так как площадь треугольника равна 30 см^2, то мы можем записать уравнение:

S = 1/2 a b = 30

Также из условия задачи мы знаем, что a^2 + b^2 = c^2, поэтому:

a^2 + b^2 = 13^2 = 169

Мы имеем систему уравнений:

1) 1/2 a b = 30
2) a^2 + b^2 = 169

Из первого уравнения выразим b через a:

b = 60 / a

Подставим это выражение во второе уравнение:

a^2 + (60/a)^2 = 169

a^4 - 169a^2 + 3600 = 0

Теперь это уравнение квадратное относительно a^2. Найдем его корни:

a^2 = (169 ± √(169^2 - 413600)) / 2

a^2 = (169 ± √(16900 - 14400)) / 2

a^2 = (169 ± √2500) / 2

a^2 = (169 ± 50) / 2

a = 59 / 2 или a = 59 / 2

Отсюда получаем, что a = 20 или a = 9. Так как a < c, то берем a = 9, а b = 60 / 9 = 20/3 = 6.

Итак, катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 6 см.