Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c.

Из условия задачи у нас есть следующие данные:
a = 2√2
проекция b на c = 4 2/3 = 14/3

Зная, что проекция катета b на гипотенузу соотносится с самим катетом и гипотенузой как b/c = b/с, мы можем записать соотношение между ними:

b/c = 14/3

Также, по теореме Пифагора, мы знаем, что a^2 + b^2 = c^2. Подставим данные из условия в это уравнение:

(2√2)^2 + (14/3)^2 = c^2
42 + 196/9 = c^2
8 + 196/9 = c^2
(89 + 196) / 9 = c^2
(72 + 196) / 9 = c^2
268 / 9 = c^2
c^2 = 268 / 9

Теперь найдем значение гипотенузы треугольника c:

c = √(268/9) = √268 / √9 = √268 / 3

Таким образом, длина гипотенузы треугольника равна √268 / 3.