Для нахождения высот треугольника, можно воспользоваться формулой Герона, которая выражает площадь треугольника через длины его сторон:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

где S - площадь треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника, который вычисляется следующим образом:

p = (a + b + c) / 2.

Для треугольника со сторонами 6, 9 и 12 см, полупериметр будет равен:

p = (6 + 9 + 12) / 2 = 27 / 2 = 13.5.

Площадь треугольника вычисляется по формуле Герона:

S = √(13.5 (13.5 - 6) (13.5 - 9) (13.5 - 12)) = √(13.5 7.5 4.5 1.5) = √((13.5)^4 0.03125) = √((13.5)^4 1/32) = (13.5)^2 / 4 = 182.25 / 4 = 45.5625 кв.см.

Высоты треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника: S = 0.5 a h, где a - длина основания треугольника, h - высота, проведенная к этому основанию. Таким образом, высоты треугольника можно найти, разделив удвоенную площадь на соответствующую сторону треугольника:

h1 = 2 S / a = 2 45.5625 / 6 = 7.59375 см,

h2 = 2 S / b = 2 45.5625 / 9 = 5.04167 см,

h3 = 2 S / c = 2 45.5625 / 12 = 3.79688 см.

Таким образом, высоты треугольника со сторонами 6, 9 и 12 см равны 7.59375 см, 5.04167 см и 3.79688 см соответственно.