Из условия известно, что гипотенуза AB = 12 и угол CAK = 15 градусов.

Поскольку AK - биссектриса угла A, то угол BAK = угол CAK = 15 градусов.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол A = 90 градусов.

Таким образом, треугольник ABK равнобедренный (IK = BK) и прямоугольный (IK перпендикулярен BK).

Так как треугольник ABK прямоугольный, то тангенс угла BAK = IK / BK = AK / AB

tg 15 = AK / 12

AK = 12 * tg 15
AK ≈ 3.46

Так как треугольник ABK равнобедренный, то BK = AK = 3.46

Теперь, чтобы найти длину катета BC, нам нужно вычесть BK из гипотенузы AB:

BC = AB - BK
BC = 12 - 3.46
BC ≈ 8.54

Ответ: длина катета BC ≈ 8.54.